Текст раз
Этот пост призван не дать дневнику простаивать более двух месяцев.
Этот пост призван не дать дневнику простаивать более двух месяцев и потому не имеет какой-то определённой темы. Подобно одной книжке, тут будет информация типа «Три новых вещи, которые я узнал за подотчётный период». Получилось как-то неожиданно много, поэтому посту присвоен статус «содержательного». Первая вещь будет изложена по привычной схеме возрастания нудных и тоскливых деталей (осторожно, будут формулы!).
Игра хаоса
Наткнулся на такую забавную задачку, литературно обозванную «Игрой хаоса»:
На плоскости задано три точки: А, В, С. В нашем распоряжении имеется монета, которая умеет падать ребром, гербом или решкой. Выберем на плоскости случайную точку X1. Если монета упала гербом, поставим новую точку посередине между X1 и А, если решкой --- посередине между X1 и В, если ребром --- между X1 и С. Обозначим новую точку Х2. Снова подбросим монету и поставим Х3 посередине между Х2 и одной из точек А,В,С по тому же правилу. Повторим эту процедуру много-много раз. Как будет выглядеть набор получившихся точек?
«Фигня вопрос,» --- подумал я, прочитав условие первый раз. За конечное число шагов точка попадёт в треугольник ABC и потом будет в нём до бесконечности болтаться, возможно, полностью его закрашивая. Проверка показывает, что если соединить получившиеся точки линиями, то получится действительно нечто в таком духе:
Однако же, если точки не соединять, то получится нечто гораздо более интересное.интересное:
Что это?
На последней картинке изображен небезызвестный объект --- треугольник Серпинского. Обычно он строится без применения всяких трюков с монеткой: берётся треугольник, из него выкидывается треугольник, образованный основаниями медиан; получается еще три треугольника, из них всё так же выкидываются серединные треугольники, и т. д. Вообще, я был страшно удивлён его появлению, но про это --- потом.
Итак, обещанный ответ на вопрос «Что это?» --- это частный пример так называемой системы итерированных функций (iterated function system, IFS). Идея метода проста: берётся N штук функций, f1(x), f2(x), … , fN(x), и какая-нибудь начальная точка X0. Затем эта точка последовательно сдвигается функциями, применяемыми к ней в случайном порядке: Xk+1(x) = fuk(Xk), где uk --- случайное число от 1 до N. Вот и всё. Если функции выбраны «удачно», то точки X0, X1, …, Х(большая чиселка) образуют любопытную картинку.
Оказывается, такие системы могут описывать довольно широкий класс множеств на плоскости. Если ограничиться одними только линейными преобразованиями (и не думать о способе покраски), то можно даже с очень простой программкой много чего получить. получить, например, такие картинки:
Если же подойти к вопросу основательно и с фантазией (а не как я), то IFS можно использовать для генерирования изображений всяких природных объектов --- растений, облаков, рельефа. Это, впрочем, выпадает из темы поста.
Почему это?
Важные Общие Слова и Огромное Прикладное Значение --- это, конечно, здорово, но мне больше всего захотелось понять, почему результатом Игры Хаоса является именно треугольник Серпинского. Поначалу мне это показалось вообще ни разу не очевидным. Попробую изложить разъяснение (и тем самым убедить себя, что я сам всё правильно понял). Осторожно, дальше идут скучные рассуждения на пальцах!
В терминах IFS, в Игре Хаоса мы имеем три отображения: каждое сдвигает свой аргумент в сторону одной из точек А,В,С. Как уже упоминалось, несложно сообразить, что абсолютно любая точка за не очень большое число шагов окажется внутри треугольника. Поскольку шагов «много-много», то отбросим начальные точки вне треугольника, и будем считать, что начальная точка с самого начала лежит внутри треугольника. Где может оказаться точка после первого шага? Рассмотрим какую-нибудь одну функцию,скажем, ту, которую приближает к вершине А. Эта функция оставит вершину А на месте; вершина В перейдёт в основание медианы, опущенной на АВ, вершина С --- в основание медианы, опущенной на АС. Соответственно, сторона ВС перейдёт в отрезок, эти два основания соединяющий. Таким образом, весь треугольник АВС перейдёт в подобный ему треугольник с общей вершиной А. Пометим этот новый треугольник синим:
Соответственно, две другие функции отобразят АВС в два похожих треугольника. В итоге, после первого шага АВС может перейти в один из трёх новых треугольников (= начальная точка окажется в одном из них). Обратим внимание, что картинка в точности есть первая итерация построения треугольника Серпинского (выкинут центральный треугольник). Что будет на втором шаге? Пусть на первом мы оказались в синем треугольнике. Тогда на втором шаге он может перейти в один из трёх треугольников (которые мы тоже покрасим в синий):
На третьем шаге точка из Синего-Треугольника-С-Первой-Итерации может оказаться уже в одном из девяти треугольников:
Покрасим оставшиеся два треугольника с первой итерации в красный и зелёный (абсолютно неожиданный выбор цветов) и проследим, куда эти треугольники могут перейти от шага к шагу. Получим такую картинку:
Таким образом, с каждой последующей итерации, вне зависимости от того, какая функция будет выбрана, наша точка будет передвигаться по приближениям треугольника Серпинского; наши функции оказались выбраны так, что они «загоняют» точку всё ближе и ближе к нему.
Резюмируя: вместо того, чтобы на каждом этапе выкидывать по треугольнику, можно гонять одну-единственную точку по трём случайно выбираемым функциям. Поскольку при достаточно большом шаге новые «зоны приближения» оказываются обильно рассыпаны по всему треугольнику Серпинского, то это создаёт иллюзию, будто «все точки на месте», хотя, на самом деле, их там сильно меньше.
Зачем мне это?
Как уже было сказано, меня очень удивил результат работы Игры Хаоса --- настолько, что, только прочитав условие, я тут жевзял лист бумаги, карандаш, и подбросил монетку несколько миллионов раз написал программку для построения траектории. Попытаюсь объяснить мою реакцию.
(Пока есть место в скобках, два слова о переводе: исходное название, Chaos game, правильно было бы перевести как «Хаотическая игра» или «Игра «Хаос»» (по аналогии с «Игрой «Жизнь»»). Название «Игра Хаоса» выбрано мной потому, что оно напоминаетмультик «Игра Бендера» роман «Игра Эндера».)
Есть большой класс красивых (по меньшей мере, в визуальном плане) объектов в математике, которые получаются в результате итеративного применения какого-нибудь простого правила. Такие объекты меня всегда привлекали. На втором курсе,умирая со скуки внимательно слушая лекции по системному программированию, я занимался тем, что рисовал кривую Пеано, кривую Пеано,
(Чудом уцелевший фрагмент с лекции по грамматикам Холмского!)
--- плоскую непрерывную кривую, целиком закрашивающую квадрат (да, так бывает). Таких фигур (которые можно нарисовать на бумажке) --- довольно много. Разумеется, у машины рисование выходит гораздо быстрее и симпатичнее. Когда (уже на третьем курсе) я писал свой трассировщик лучей, то одной из первых отрисованных на нём фигур стала пирамида Серпинского, пирамида Серпинского,
--- трёхмерный аналог треугольника Серпинского. С точки зрения программирования тут есть огромный плюс: все эти кривые Пеано, треугольники Серпинского и прочие драконы Леви очень легко задаются --- надо написать чуть-чуть строчек очень простого кода. Так, на рисование разноцветного треугольника из предыдущего раздела ушло 8 строк кода на Матлабе. 8 строк кода на Матлабе:
Эта функция рекурсивная; математики --- народ,ленивый ценящий лаконичность, и, как говорил мой семинарист по дискретке, «рекурсия --- значит, легко программировать». У этой лаконичности, впрочем, есть цена: для рисования достаточно большой итерации, скажем, пятнадцатой, придётся сделать 315 = 14348907 вызовов функций. Поскольку вызовы функции вложены друг в друга, то все входные аргументы будут благополучно занимать место в оперативной памяти, пока раскрутка рекурсии не закончится (параметр iter не станет равен maxIter, т. е., 15). В случае приведенной тут функции, один вызов «обходится» в три точки с двумя координатами по восемь байт каждая (48 байт) + три числа по еще восемь байт каждое (24 байта), что в сумме даёт 72 байта за вызов. Казалось бы, копейки, да? Но тогда наши 315 вызовов съедят 315 * 72 = 1033121304 байт, что примерно равно 985 мегабайтам. Для шестнадцатой итерации эта цифра возрастёт в три раза и составит почти три гигабайта. Можно, конечно, справедливо заметить, что А) алгоритм можно переписать из рекурсивного в не рекурсивный и Б) никому такие высокие итерации на фиг не сдались.
Короче говоря, треугольник Серпинского в моём понимании был чем-то связанным с жестко заданным, детерминированным, простым, изящным и последовательным. Случайные блуждания на плоскости у меня наоборот, ассоциировались с чем-то хаотическим, непредсказуемым, рваным, ломанным, корявым. То, что первое можно получить из второе, было для меня неожиданностью.
Два завершающих замечания в стиле«власти скрывают» «на самом деле»:
1. На самом деле, Игра Хаоса лишь «на поверхности» демонстрирует идеально ровный треугольник. Если приблизить изображение несколько раз, скажем, в районе вершины А, то всё встанет на свои места. всё встанет на свои места:
Это весьма сильное приближение (порядка 10 раз). Чем больше шагов мы в игре сделаем, тем больше надо будет приблизить изображение, что бы увидеть его хаотическую структуру.
2. На самом деле, нет ничего удивительного в том, что детерминированный объект эффективно приближается вероятностным процессом. Еще в XVIII веке была рассмотрена и решена следующая задача (т. н. «Игла Бюффона»):
Плоскость разлинована набором параллельных прямых, идущих с одинаковым интервалом. На эту плоскость бросается иголка, длина которой равна расстоянию между соседними прямыми. C какой вероятностью иголка пересечёт какую-нибудь из этих прямых?
Ответ: 2/π. Да, это то же самое π, которое фигурирует в формуле длины окружности (3,1415926...). Казалось бы, откуда оно здесь? Тем не менее, если много-много раз кинуть иглу на плоскость, а потом поделить число пересечений на общее число бросков, то получится величина, довольно близкая к 2/π, что позволяет вычислить число π в бытовых условиях.
Индукционные установки нагрева от Тани™
По-моему, спамеры начали о чём-то догадываться. Некоторое время назад мне на почту пришло такое письмо:
Уважаемый профессор
Это Таня из Китая,"маленький человек",кто работает на заводе. Пишу Вам это письмо--моя большая честь. Прежде всего,благодарю Вас за внимание к моему письмо. Разрешите показать Вам наши установки:
Наша продукция--индукционные установки нагрева, используемы для нагрева трубопровода,подогрева перед пайкой,термообработок после пайки,тепловой сборки, гауссова ускорения массой, горячего напыления,нагрева моделя и т. д. Конечно и наши установки широко используются в лаборатории. В Китае много университетов купят из нас для эксперимента,наша установка очень хороший инструмент нагрева на эксперимента.
Если Вас интересуются наши установки,свяжитесь со мной!И у Вас что-нибудь вопросы,свяжитесь со мной!Надеемся с Вами сотрудничать!
Мне стало интересно, что такое «гауссово ускорение массой». Единственное похожее, на что я наткнулся --- электромагнитный ускоритель масс Гаусса, более известный в народе как гаусган. Теперь, наверно, надо ожидать предложения покупки обогащенного урана.
Смайлики, солнца и глаза
Это будет совсем короткая секция.
Случайно блуждая по ютубу, я наткнулся на видео, в котором автор использует простой метод орбитальной ловушки для построения красивых картинок со смайликом. Метод мне знаком, но раньше я им предпочитал не пользоваться по своим причинам. из-за его плохой предсказуемости.
Орбитальная ловушка --- очень простая штука, относящаяся скорее к области искусства, нежели математики. Пусть мы хотим нарисовать некую картинку в M на N пикселов, и сопоставим каждому пикселу точку на плоскости. Идея: помещаем на плоскость некоторую картинку, скажем, смайлик («ловушку»). После этого из каждого пиксела будем строить некоторую траекторию на плоскости вида zk+1 = f(zk), где функция f одна на все пикселы. Как только траектория попадёт на ловушку, то окрасим пиксел, из которого она стартовала, в цвет пиксела картинки, куда она пришла. Хотя метод очень прост (и в интернете много картинок с ним), очень непонятно (во всяком случае, мне), как связана форма картинки, используемой в качестве ловушки, и функция f. Если в фракталах Ньютона из предыдущего поста нули функции «подсказывали» внешний вид результат заранее, то тут ничего подобного не наблюдается. В ролике, на который была ссылка, использовалась ловушка в форме квадрата (хотя логичнее было бы использовать ловушку в форме круга (смайлик-то круглый), автор это объясняет техническими причинами) и простая функция вида z2 +c, где c --- комплексное число, определяемое кликом мышки. Я подумал, что от этого уже можно хоть как-то отталкиваться.
Cообразив, что это и в магазине можно так стенку убрать, я решил по-быстрому накодить что-то подобное, но только без выполнения в реальном времени и потому с большим числом настроек и параметров.
Сразу скажу, что во всех дальнейших примерах картинки для ловушек были взяты наудачу с первой страницы поиска гугла по картинкам. Надеюсь, ничего особо криминального я этим не сделал.
Смайлик было получить легко.легко:
Потом я решил взять что-то похожее, но не совсем; выбор пал солнце.солнце:
Исходное солнце
Логичным финалом стало использование глаза, форма которого была грубо приближена пересечением двух кругов.
Раз картинка с глазом
Два картинка с глазом
Три картинка с глазом
Четыре картинка с глазом
Пять картинка с глазом
Такие дела =)
Этот пост призван не дать дневнику простаивать более двух месяцев и потому не имеет какой-то определённой темы. Подобно одной книжке, тут будет информация типа «Три новых вещи, которые я узнал за подотчётный период». Получилось как-то неожиданно много, поэтому посту присвоен статус «содержательного». Первая вещь будет изложена по привычной схеме возрастания нудных и тоскливых деталей (осторожно, будут формулы!).
Игра хаоса
Игра хаоса
Наткнулся на такую забавную задачку, литературно обозванную «Игрой хаоса»:
На плоскости задано три точки: А, В, С. В нашем распоряжении имеется монета, которая умеет падать ребром, гербом или решкой. Выберем на плоскости случайную точку X1. Если монета упала гербом, поставим новую точку посередине между X1 и А, если решкой --- посередине между X1 и В, если ребром --- между X1 и С. Обозначим новую точку Х2. Снова подбросим монету и поставим Х3 посередине между Х2 и одной из точек А,В,С по тому же правилу. Повторим эту процедуру много-много раз. Как будет выглядеть набор получившихся точек?
«Фигня вопрос,» --- подумал я, прочитав условие первый раз. За конечное число шагов точка попадёт в треугольник ABC и потом будет в нём до бесконечности болтаться, возможно, полностью его закрашивая. Проверка показывает, что если соединить получившиеся точки линиями, то получится действительно нечто в таком духе:
Однако же, если точки не соединять, то получится нечто гораздо более интересное.интересное:
Что это?
На последней картинке изображен небезызвестный объект --- треугольник Серпинского. Обычно он строится без применения всяких трюков с монеткой: берётся треугольник, из него выкидывается треугольник, образованный основаниями медиан; получается еще три треугольника, из них всё так же выкидываются серединные треугольники, и т. д. Вообще, я был страшно удивлён его появлению, но про это --- потом.
Итак, обещанный ответ на вопрос «Что это?» --- это частный пример так называемой системы итерированных функций (iterated function system, IFS). Идея метода проста: берётся N штук функций, f1(x), f2(x), … , fN(x), и какая-нибудь начальная точка X0. Затем эта точка последовательно сдвигается функциями, применяемыми к ней в случайном порядке: Xk+1(x) = fuk(Xk), где uk --- случайное число от 1 до N. Вот и всё. Если функции выбраны «удачно», то точки X0, X1, …, Х(большая чиселка) образуют любопытную картинку.
Оказывается, такие системы могут описывать довольно широкий класс множеств на плоскости. Если ограничиться одними только линейными преобразованиями (и не думать о способе покраски), то можно даже с очень простой программкой много чего получить. получить, например, такие картинки:
Если же подойти к вопросу основательно и с фантазией (а не как я), то IFS можно использовать для генерирования изображений всяких природных объектов --- растений, облаков, рельефа. Это, впрочем, выпадает из темы поста.
Почему это?
Важные Общие Слова и Огромное Прикладное Значение --- это, конечно, здорово, но мне больше всего захотелось понять, почему результатом Игры Хаоса является именно треугольник Серпинского. Поначалу мне это показалось вообще ни разу не очевидным. Попробую изложить разъяснение (и тем самым убедить себя, что я сам всё правильно понял). Осторожно, дальше идут скучные рассуждения на пальцах!
В терминах IFS, в Игре Хаоса мы имеем три отображения: каждое сдвигает свой аргумент в сторону одной из точек А,В,С. Как уже упоминалось, несложно сообразить, что абсолютно любая точка за не очень большое число шагов окажется внутри треугольника. Поскольку шагов «много-много», то отбросим начальные точки вне треугольника, и будем считать, что начальная точка с самого начала лежит внутри треугольника. Где может оказаться точка после первого шага? Рассмотрим какую-нибудь одну функцию,скажем, ту, которую приближает к вершине А. Эта функция оставит вершину А на месте; вершина В перейдёт в основание медианы, опущенной на АВ, вершина С --- в основание медианы, опущенной на АС. Соответственно, сторона ВС перейдёт в отрезок, эти два основания соединяющий. Таким образом, весь треугольник АВС перейдёт в подобный ему треугольник с общей вершиной А. Пометим этот новый треугольник синим:
Соответственно, две другие функции отобразят АВС в два похожих треугольника. В итоге, после первого шага АВС может перейти в один из трёх новых треугольников (= начальная точка окажется в одном из них). Обратим внимание, что картинка в точности есть первая итерация построения треугольника Серпинского (выкинут центральный треугольник). Что будет на втором шаге? Пусть на первом мы оказались в синем треугольнике. Тогда на втором шаге он может перейти в один из трёх треугольников (которые мы тоже покрасим в синий):
На третьем шаге точка из Синего-Треугольника-С-Первой-Итерации может оказаться уже в одном из девяти треугольников:
Покрасим оставшиеся два треугольника с первой итерации в красный и зелёный (абсолютно неожиданный выбор цветов) и проследим, куда эти треугольники могут перейти от шага к шагу. Получим такую картинку:
Таким образом, с каждой последующей итерации, вне зависимости от того, какая функция будет выбрана, наша точка будет передвигаться по приближениям треугольника Серпинского; наши функции оказались выбраны так, что они «загоняют» точку всё ближе и ближе к нему.
Резюмируя: вместо того, чтобы на каждом этапе выкидывать по треугольнику, можно гонять одну-единственную точку по трём случайно выбираемым функциям. Поскольку при достаточно большом шаге новые «зоны приближения» оказываются обильно рассыпаны по всему треугольнику Серпинского, то это создаёт иллюзию, будто «все точки на месте», хотя, на самом деле, их там сильно меньше.
Зачем мне это?
Как уже было сказано, меня очень удивил результат работы Игры Хаоса --- настолько, что, только прочитав условие, я тут же
(Пока есть место в скобках, два слова о переводе: исходное название, Chaos game, правильно было бы перевести как «Хаотическая игра» или «Игра «Хаос»» (по аналогии с «Игрой «Жизнь»»). Название «Игра Хаоса» выбрано мной потому, что оно напоминает
Есть большой класс красивых (по меньшей мере, в визуальном плане) объектов в математике, которые получаются в результате итеративного применения какого-нибудь простого правила. Такие объекты меня всегда привлекали. На втором курсе,
(Чудом уцелевший фрагмент с лекции по грамматикам Холмского!)--- плоскую непрерывную кривую, целиком закрашивающую квадрат (да, так бывает). Таких фигур (которые можно нарисовать на бумажке) --- довольно много. Разумеется, у машины рисование выходит гораздо быстрее и симпатичнее. Когда (уже на третьем курсе) я писал свой трассировщик лучей, то одной из первых отрисованных на нём фигур стала пирамида Серпинского, пирамида Серпинского,
--- трёхмерный аналог треугольника Серпинского. С точки зрения программирования тут есть огромный плюс: все эти кривые Пеано, треугольники Серпинского и прочие драконы Леви очень легко задаются --- надо написать чуть-чуть строчек очень простого кода. Так, на рисование разноцветного треугольника из предыдущего раздела ушло 8 строк кода на Матлабе. 8 строк кода на Матлабе:
Эта функция рекурсивная; математики --- народ,
Короче говоря, треугольник Серпинского в моём понимании был чем-то связанным с жестко заданным, детерминированным, простым, изящным и последовательным. Случайные блуждания на плоскости у меня наоборот, ассоциировались с чем-то хаотическим, непредсказуемым, рваным, ломанным, корявым. То, что первое можно получить из второе, было для меня неожиданностью.
Два завершающих замечания в стиле
1. На самом деле, Игра Хаоса лишь «на поверхности» демонстрирует идеально ровный треугольник. Если приблизить изображение несколько раз, скажем, в районе вершины А, то всё встанет на свои места. всё встанет на свои места:
Это весьма сильное приближение (порядка 10 раз). Чем больше шагов мы в игре сделаем, тем больше надо будет приблизить изображение, что бы увидеть его хаотическую структуру.
2. На самом деле, нет ничего удивительного в том, что детерминированный объект эффективно приближается вероятностным процессом. Еще в XVIII веке была рассмотрена и решена следующая задача (т. н. «Игла Бюффона»):
Плоскость разлинована набором параллельных прямых, идущих с одинаковым интервалом. На эту плоскость бросается иголка, длина которой равна расстоянию между соседними прямыми. C какой вероятностью иголка пересечёт какую-нибудь из этих прямых?
Ответ: 2/π. Да, это то же самое π, которое фигурирует в формуле длины окружности (3,1415926...). Казалось бы, откуда оно здесь? Тем не менее, если много-много раз кинуть иглу на плоскость, а потом поделить число пересечений на общее число бросков, то получится величина, довольно близкая к 2/π, что позволяет вычислить число π в бытовых условиях.
Индукционные установки нагрева от Тани™
Индукционные установки нагрева от Тани™
По-моему, спамеры начали о чём-то догадываться. Некоторое время назад мне на почту пришло такое письмо:
Уважаемый профессор
Это Таня из Китая,"маленький человек",кто работает на заводе. Пишу Вам это письмо--моя большая честь. Прежде всего,благодарю Вас за внимание к моему письмо. Разрешите показать Вам наши установки:
Наша продукция--индукционные установки нагрева, используемы для нагрева трубопровода,подогрева перед пайкой,термообработок после пайки,тепловой сборки, гауссова ускорения массой, горячего напыления,нагрева моделя и т. д. Конечно и наши установки широко используются в лаборатории. В Китае много университетов купят из нас для эксперимента,наша установка очень хороший инструмент нагрева на эксперимента.
Если Вас интересуются наши установки,свяжитесь со мной!И у Вас что-нибудь вопросы,свяжитесь со мной!Надеемся с Вами сотрудничать!
Мне стало интересно, что такое «гауссово ускорение массой». Единственное похожее, на что я наткнулся --- электромагнитный ускоритель масс Гаусса, более известный в народе как гаусган. Теперь, наверно, надо ожидать предложения покупки обогащенного урана.
Смайлики, солнца и глаза
Смайлики, солнце и глаза
Это будет совсем короткая секция.
Случайно блуждая по ютубу, я наткнулся на видео, в котором автор использует простой метод орбитальной ловушки для построения красивых картинок со смайликом. Метод мне знаком, но раньше я им предпочитал не пользоваться по своим причинам. из-за его плохой предсказуемости.
Орбитальная ловушка --- очень простая штука, относящаяся скорее к области искусства, нежели математики. Пусть мы хотим нарисовать некую картинку в M на N пикселов, и сопоставим каждому пикселу точку на плоскости. Идея: помещаем на плоскость некоторую картинку, скажем, смайлик («ловушку»). После этого из каждого пиксела будем строить некоторую траекторию на плоскости вида zk+1 = f(zk), где функция f одна на все пикселы. Как только траектория попадёт на ловушку, то окрасим пиксел, из которого она стартовала, в цвет пиксела картинки, куда она пришла. Хотя метод очень прост (и в интернете много картинок с ним), очень непонятно (во всяком случае, мне), как связана форма картинки, используемой в качестве ловушки, и функция f. Если в фракталах Ньютона из предыдущего поста нули функции «подсказывали» внешний вид результат заранее, то тут ничего подобного не наблюдается. В ролике, на который была ссылка, использовалась ловушка в форме квадрата (хотя логичнее было бы использовать ловушку в форме круга (смайлик-то круглый), автор это объясняет техническими причинами) и простая функция вида z2 +c, где c --- комплексное число, определяемое кликом мышки. Я подумал, что от этого уже можно хоть как-то отталкиваться.
Cообразив, что это и в магазине можно так стенку убрать, я решил по-быстрому накодить что-то подобное, но только без выполнения в реальном времени и потому с большим числом настроек и параметров.
Сразу скажу, что во всех дальнейших примерах картинки для ловушек были взяты наудачу с первой страницы поиска гугла по картинкам. Надеюсь, ничего особо криминального я этим не сделал.
Смайлик было получить легко.легко:
Исходное солнце
Логичным финалом стало использование глаза, форма которого была грубо приближена пересечением двух кругов.
Раз картинка с глазом
Два картинка с глазом
Три картинка с глазом
Четыре картинка с глазом
Пять картинка с глазом
Такие дела =)
@музыка: Ayreon --- Unnatural Selection
@темы: картинки, питон, содержательный пост, Matlab
-
-
27.02.2024 в 05:13-
-
27.02.2024 в 08:30voyeurporn.one/tags/step-mom/
In the empire of dating, one encounters a different kind of emotions. There's the exhilaration of convention someone new, the foreknowledge of a beginning swain, and the give someone a kick of discovering common interests and shared values. It is a time of vulnerability and self-discovery as individuals obtainable themselves up to the potentiality of regard and companionship.
squirting.world/tags/butt-plug/
Effectual communication lies at the will of dating, facilitating sympathy and appropriateness between two people. It involves effective listening, ethical language, and empathy, creating a gap object of real dialogue. Through communication, individuals can enquire into their compatibility, exchange thoughts and dreams, and assemble a groundwork of trust.
-
-
27.02.2024 в 17:28Северная Корея опубликовала фотографии, сделанные во время самого мощного запуска ракеты за последние годы.
На фото, сделанных из космоса, показаны части Корейского полуострова и прилегающие районы.
В понедельник Пхеньян заявил, что провел испытания ракеты средней дальности (БРСД).
На своей полной мощности он может преодолевать тысячи миль, оставляя в пределах досягаемости такие районы, как территория США Гуам.
Последнее испытание вновь вызвало тревогу у международного сообщества.
За последние несколько недель Пхеньян сделал огромное количество запусков ракет — семь пусков — интенсивная активность, которая была резко осуждена США, Южной Кореей, Японией и другими странами.
Что хочет Корея?
Для чего она выпустила так много ракет в этом месяце?
Северная Корея собирается сосредоточиться на экономике в 2022 году
ООН не одобряет такие запуски ракет и ввела строгие санкции. Но Северная Корея постояно игнорирует запрет.
Официальные лица США в понедельник сообщили, что данный рост активности требует возобновления переговоров с СК.
Что же случилось при запуске Hwasong-12?
Южная Корея и Япония первыми заявили об испытаниях в воскресенье после того, как обнаружили его в своих мониторах.
Они считают, что, он прошел огромное расстояние для такого типа ракет, преодолев расстояние около 800 км (497 миль) и достигнув высоты 2000 км, перед приземлением в водах у берегов Японии. На предельной мощи и по обычному маршруту ракета может пролететь порядка 4 тыс км.
Зачем Корея запустила БРСД?
Аналитик Северной Кореи Анкит Панда сказал, что отсутствие Кима и язык, который искользовался в СМИ для создания образа запуска, позволяют предположить, что это учение было предназначено для проверки того, что ракетная система работает должным образом, а не для того, чтобы продемонстрировать новую силу.
Новость поведало агентство новостей Агентство новостей Агентство Новостное агентство Агентство gornoid.ru
Кто что думает? Это хорошее новшество или безполезное?
-
-
27.02.2024 в 19:39==> url.epoch.tw/v2GLm <==
==> s.yjm.pl/WrnR <==
-
-
28.02.2024 в 08:37Заказать гроб для домашнего животного в Москве
ritualsm.ru/groby-dla-zivotnyh.html
Ещё можно узнать: Правила перезахоронения на Хованском кладбище
Оформление захоронений в родственные могилы Новое-Ямское
-
-
28.02.2024 в 17:46Brillx
Ощутите адреналин и азарт настоящей игры вместе с нами. Будьте готовы к захватывающим приключениям и невероятным сюрпризам. Brillx Казино приглашает вас испытать удачу и погрузиться в мир бесконечных возможностей. Не упустите шанс стать частью нашей игровой семьи и почувствовать всю прелесть игры в игровые аппараты в 2023 году!Добро пожаловать в увлекательный мир азарта и развлечений на официальном сайте Brillx Казино! Если вы ищете захватывающий опыт игры в игровые аппараты, то ваш поиск завершен. Brillx Казино - это не просто блистательный выбор игр, это настоящее путешествие в мир азарта и возможностей.
-
-
29.02.2024 в 09:53ДОСТАВКА ТОВАРА В РУКИ - koks.top/
ЗАКАЗЫ ОНЛАЙН ЧЕРЕЗ ТЕЛЕГРАММ - koks.top/
ЗАКЛАДКИ ОНЛАЙН НА САЙТЕ - koks.top/
ССЫЛКА ДЛЯ СВЯЗИ С ОПЕРАТОРОМ - koks.top/
КУПИТЬ ГАШИШ ОНЛАЙН С ДОСТАВКОЙ - koks.top/
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Теги поисковых слов для запроса "Купить Гашиш в Киеве"
Сколько Стоит Гашиш в Киеве в розницу? Кто обычно покупает Гашиш в Киеве? Как изготавливают Гашиш который можно купить в Киеве?
Сколько лет уже продают качественный Гашиш в Киеве закладками? Как можно купить Гашиш в Киеве с доставкой в руки?
Надежность покупок Гашиш в Киеве с максимальной скоростью доставки товара в руки? Какой минимальный заказ покупки Гашиша в Киеве при заказе онлайн?
Самый быстрый способ Купить Гашиш в Киеве без посредников? Купить Гашиш в киеве на прямую без третьих лиц? Сколько нужно грамм для употребления Гашиш в Киеве?
Мой друг знает где быстро Купить Гашиш в Киеве в ночное время суток без номера телефона курьера, всё полностью онлайн и анонимно!
Если есть желание покупать Гашиш в Киеве по самой демократичной и низкой цене по сравнению с качеством то Вам несомненно нужно посетить сайт на котором продают Гашиш в Киеве?
Гашиш в Киеве после которого нет головных болей, ломоты в суставе и ломки как после уличных наркотиков? Бесплатная доставка Гашиш в Киеве по средах каждого месяца!
Мелкие и крупные покупки Гашиша в Киеве, Оптом Гашиша в Киеве? В розницу Гашиш в Киеве? Всё это без проблем может обеспечить всего один сайт в кратчайшие сроки!
Челоек - Паук вместо паутины плетёт Гашиш нить, которую иногда можно перепутать с Гашиш в Киеве по самой доступной цене на этом узкопрофильном рынке!
Каждая собака в Киеве знает где купить Гашиш на розвес так сказать, разфасованный товар до милиграмма с точностью швейцарских часов Киевских Гашишных весов?
Моя молодая подруга мне подсказала где в Киеве Купить Гашиш такого качества, что потом весь остальной Гашиш тв Киеве можно будет просто выкинуть в мусорку без сомнения?
Наш Гашиш в Киеве- просто перчик? Про такой Гашиш в Киеве даже соченили уже репчик? Какие молодцы люди, которые понимают в качестве и основных ингредиентах приготовления такого Гашиша в Киеве?
Меня на улице спросили - Где же мы Можем Купить Гашиш в Киеве? И я с гордостью ответил - Гашиш в Киеве вы всегда можете преобрести онлайн на официальном доверенном сайте который продает Гашиш в Киеве.
Какими способностями обладают люди, которые употребляют Гашиш в Киеве без сна даже трое суток, спросите вы? А я отвечу - спустя даже три дня человек употребивший Гашиш в Киеве чувствует прилив сил и бодрость!
Мне в замаскированной посылке привезли Гашиш в Киеве очень хорошего качества товар для оборота, было много но я не ожидал что будет больше чем нужно?
Общие Теги для Гугл бот - Купить Шишки в Киеве, Купить экстази в Киеве , Купить гашиш в Киеве, Купить мефедрон в Киеве, Купить экстази в Киеве, Купить МДМА в Киеве,
Купить лсд в Киеве, Купить Амфетамин в Киеве, Купить скорость альфа ПВП в Киеве, Купить гидропонику в Киеве, Купить метамфетамин в Киеве, Купить эйфоретики в Киеве,
Купить закладки в Киеве, Купить ШИШКИ закладкой в Киеве , Купить Стимуляторы в Киеве, Купить Галлюцыногены в Киеве. Тег окончен
-
-
29.02.2024 в 11:45commercial carpet cleaning Phoenix 85056!
-
-
19.03.2024 в 01:36Increase your Visibility Boost Your Seo Rank - Get Organic Traffic From Google. Ranking in Google isn’t hard. All you need is a healthy number of backlinks from referring domains that have authority and trust in Google’s eyes.
This Backlinks Service Benefits:
1. Easily get Google rankings
2. Get a lot of traffic from Google
3. You can earn from the website in different ways
4. Increase Domain Authority (DA)
Quality guaranteed !
PRICE - 20$
WebSite - goo.su/ZUHZ
-
-
19.03.2024 в 13:58Вы когда-нибудь писали диплом в сжатые сроки? Это очень ответственно и тяжело, но нужно не сдаваться и делать учебные процессы, чем Я и занимаюсь)
Тем кто умеет разбираться и гуглить информацию, это действительно помогает по ходу согласований и написания диплома, не нужно тратить время на библиотеки или встречи с дипломным руководителем, вот здесь есть хорошие данные для заказа и написания дипломов и курсовых с гарантией и доставкой по России, можете посмотреть здесь 8saksx-diploms.com, проверено!
купить диплом о высшем образовании
купить диплом парикмахера
где купить диплом
купить диплом в красноярске
купить диплом ссср
Желаю каждому прекрасных отметок!
-
-
20.03.2024 в 01:22ваш сайт может быть быть на любом европейском, а также китайском, корейском и др. языках!
Органический поиск приводит на ваш сайт людей, которые уже заинтересованы в ваших услугах.
У нас очень доступные цены при высочайшем европейском качестве!
Поисковая оптимизация страниц сайта
Подбор и анализ ключевых слов
Технический SEO-аудит
Создание и оптимизация контента
Размещение ссылок и outreach
Локальное SEO
SEO для E-commerce
Мобильное SEO
SEO-аналитика
SEO консультации и разработка SEO-стратегии
Оптимизация скорости загрузки сайта
Внедрение микроразметки schema.org
Интеграция и оптимизация социальных сетей
Анализ и мониторинг конкурентов
Оптимизация для голосового поиска
Устранение нарушений и штрафных санкций
а также емейл маркетинг, рекламные рассылки и многое другое
подробнее: drive.google.com/file/d/1e7hFwytv9tqs5KDMSgLDlH...
-
-
20.03.2024 в 02:35kraken9.at
The deal was struck during a meeting between Gazprom CEO Aleksey Miller and CNPC Chairman of the Board of Directors Dai Houliang on the sidelines of the Belt and Road Forum for International Cooperation in Beijing.
“During the meeting, Gazprom and CNPC signed an additional agreement to the gas purchase and sale contract via the East Route for an additional volume of Russian gas supplies to China until the end of 2023,” Gazprom wrote on its Telegram channel.
kraken5af44k24fwzohe6fvqfgxfsee4lgydb3ayzkfhlzq...
2krn.nl
-
-
20.03.2024 в 08:24-
-
26.03.2024 в 17:43Наша фирма ООО «ПТО ПРОМКОМПЛЕКТ» на постоянной основе закупает по высоким расценкам новое и Б/У оборудование:
• Невостребованные складские остатки, неликвиды;
• Промышленное оборудование;
• Станки;
• Буровое оборудование;
• Инструмент;
• Подшипники, запчасти, агрегаты, узлы, БеЛаз, ДЭК, ЭКГ, ДЗ98, МтБЛ,(у) (новое и б/у);
• Деловой металлопрокат, трубопроводную арматуру, трубу, и тд.;
• Электрооборудование, электродвигателя, генераторы (новые и б/у) и тд.;
• твердосплавы, ВК, ТК, долото, бур.головки и пр. (новое, б/у, лицензия);
• Трансформаторы, трансформаторное масло (новое и б/у);
• Радиодетали, АТС, платы, измерительные приборы производства СССР;
• Труба, трубопроводная арматура, труба нержавеющая, теплообменники, слюда;
• Б/У задвижки, редуктора, насосы;
• Картриджи для принтеров новые оригинал;
• Оргтехника для офисов и складов можно и б/у.
Полный пакет документов, лицензии, допуски.
Предоплата 100%, договора, вывоз ТМЦ за счет покупателя.
Предложения присылайте на ватсап
+7 (980) 525-83-55 (Ватсап), +7 (980) 393-70-02 (Ватсап)
или на почту [email protected]
Моментальное рассмотрение и выезд к хранению ТМЦ.
-
-
12.11.2024 в 03:46>>> t.me/+fopldkmfndjkfjdksjdkfjdkksjd #Lolllukazzzur333
<<<
-
-
17.11.2024 в 14:407936442 t.me/ verygoodplustime !
-
-
16.02.2025 в 08:03>>> t.me/+6rbwc9e #Lolllukazzzur333
<<<
-
-
04.04.2025 в 09:58>>> t.me/+z5fzeq5 #Lolllukazzzur333
<<<
-
-
05.04.2025 в 12:54>>> t.me/+wpcoswo #Lolllukazzzur333
<<<