Текст раз
Этот пост призван не дать дневнику простаивать более двух месяцев.
Этот пост призван не дать дневнику простаивать более двух месяцев и потому не имеет какой-то определённой темы. Подобно одной книжке, тут будет информация типа «Три новых вещи, которые я узнал за подотчётный период». Получилось как-то неожиданно много, поэтому посту присвоен статус «содержательного». Первая вещь будет изложена по привычной схеме возрастания нудных и тоскливых деталей (осторожно, будут формулы!).
Игра хаоса
Наткнулся на такую забавную задачку, литературно обозванную «Игрой хаоса»:
На плоскости задано три точки: А, В, С. В нашем распоряжении имеется монета, которая умеет падать ребром, гербом или решкой. Выберем на плоскости случайную точку X1. Если монета упала гербом, поставим новую точку посередине между X1 и А, если решкой --- посередине между X1 и В, если ребром --- между X1 и С. Обозначим новую точку Х2. Снова подбросим монету и поставим Х3 посередине между Х2 и одной из точек А,В,С по тому же правилу. Повторим эту процедуру много-много раз. Как будет выглядеть набор получившихся точек?
«Фигня вопрос,» --- подумал я, прочитав условие первый раз. За конечное число шагов точка попадёт в треугольник ABC и потом будет в нём до бесконечности болтаться, возможно, полностью его закрашивая. Проверка показывает, что если соединить получившиеся точки линиями, то получится действительно нечто в таком духе:
Однако же, если точки не соединять, то получится нечто гораздо более интересное.интересное:
Что это?
На последней картинке изображен небезызвестный объект --- треугольник Серпинского. Обычно он строится без применения всяких трюков с монеткой: берётся треугольник, из него выкидывается треугольник, образованный основаниями медиан; получается еще три треугольника, из них всё так же выкидываются серединные треугольники, и т. д. Вообще, я был страшно удивлён его появлению, но про это --- потом.
Итак, обещанный ответ на вопрос «Что это?» --- это частный пример так называемой системы итерированных функций (iterated function system, IFS). Идея метода проста: берётся N штук функций, f1(x), f2(x), … , fN(x), и какая-нибудь начальная точка X0. Затем эта точка последовательно сдвигается функциями, применяемыми к ней в случайном порядке: Xk+1(x) = fuk(Xk), где uk --- случайное число от 1 до N. Вот и всё. Если функции выбраны «удачно», то точки X0, X1, …, Х(большая чиселка) образуют любопытную картинку.
Оказывается, такие системы могут описывать довольно широкий класс множеств на плоскости. Если ограничиться одними только линейными преобразованиями (и не думать о способе покраски), то можно даже с очень простой программкой много чего получить. получить, например, такие картинки:
Если же подойти к вопросу основательно и с фантазией (а не как я), то IFS можно использовать для генерирования изображений всяких природных объектов --- растений, облаков, рельефа. Это, впрочем, выпадает из темы поста.
Почему это?
Важные Общие Слова и Огромное Прикладное Значение --- это, конечно, здорово, но мне больше всего захотелось понять, почему результатом Игры Хаоса является именно треугольник Серпинского. Поначалу мне это показалось вообще ни разу не очевидным. Попробую изложить разъяснение (и тем самым убедить себя, что я сам всё правильно понял). Осторожно, дальше идут скучные рассуждения на пальцах!
В терминах IFS, в Игре Хаоса мы имеем три отображения: каждое сдвигает свой аргумент в сторону одной из точек А,В,С. Как уже упоминалось, несложно сообразить, что абсолютно любая точка за не очень большое число шагов окажется внутри треугольника. Поскольку шагов «много-много», то отбросим начальные точки вне треугольника, и будем считать, что начальная точка с самого начала лежит внутри треугольника. Где может оказаться точка после первого шага? Рассмотрим какую-нибудь одну функцию,скажем, ту, которую приближает к вершине А. Эта функция оставит вершину А на месте; вершина В перейдёт в основание медианы, опущенной на АВ, вершина С --- в основание медианы, опущенной на АС. Соответственно, сторона ВС перейдёт в отрезок, эти два основания соединяющий. Таким образом, весь треугольник АВС перейдёт в подобный ему треугольник с общей вершиной А. Пометим этот новый треугольник синим:
Соответственно, две другие функции отобразят АВС в два похожих треугольника. В итоге, после первого шага АВС может перейти в один из трёх новых треугольников (= начальная точка окажется в одном из них). Обратим внимание, что картинка в точности есть первая итерация построения треугольника Серпинского (выкинут центральный треугольник). Что будет на втором шаге? Пусть на первом мы оказались в синем треугольнике. Тогда на втором шаге он может перейти в один из трёх треугольников (которые мы тоже покрасим в синий):
На третьем шаге точка из Синего-Треугольника-С-Первой-Итерации может оказаться уже в одном из девяти треугольников:
Покрасим оставшиеся два треугольника с первой итерации в красный и зелёный (абсолютно неожиданный выбор цветов) и проследим, куда эти треугольники могут перейти от шага к шагу. Получим такую картинку:
Таким образом, с каждой последующей итерации, вне зависимости от того, какая функция будет выбрана, наша точка будет передвигаться по приближениям треугольника Серпинского; наши функции оказались выбраны так, что они «загоняют» точку всё ближе и ближе к нему.
Резюмируя: вместо того, чтобы на каждом этапе выкидывать по треугольнику, можно гонять одну-единственную точку по трём случайно выбираемым функциям. Поскольку при достаточно большом шаге новые «зоны приближения» оказываются обильно рассыпаны по всему треугольнику Серпинского, то это создаёт иллюзию, будто «все точки на месте», хотя, на самом деле, их там сильно меньше.
Зачем мне это?
Как уже было сказано, меня очень удивил результат работы Игры Хаоса --- настолько, что, только прочитав условие, я тут жевзял лист бумаги, карандаш, и подбросил монетку несколько миллионов раз написал программку для построения траектории. Попытаюсь объяснить мою реакцию.
(Пока есть место в скобках, два слова о переводе: исходное название, Chaos game, правильно было бы перевести как «Хаотическая игра» или «Игра «Хаос»» (по аналогии с «Игрой «Жизнь»»). Название «Игра Хаоса» выбрано мной потому, что оно напоминаетмультик «Игра Бендера» роман «Игра Эндера».)
Есть большой класс красивых (по меньшей мере, в визуальном плане) объектов в математике, которые получаются в результате итеративного применения какого-нибудь простого правила. Такие объекты меня всегда привлекали. На втором курсе,умирая со скуки внимательно слушая лекции по системному программированию, я занимался тем, что рисовал кривую Пеано, кривую Пеано,
(Чудом уцелевший фрагмент с лекции по грамматикам Холмского!)
--- плоскую непрерывную кривую, целиком закрашивающую квадрат (да, так бывает). Таких фигур (которые можно нарисовать на бумажке) --- довольно много. Разумеется, у машины рисование выходит гораздо быстрее и симпатичнее. Когда (уже на третьем курсе) я писал свой трассировщик лучей, то одной из первых отрисованных на нём фигур стала пирамида Серпинского, пирамида Серпинского,
--- трёхмерный аналог треугольника Серпинского. С точки зрения программирования тут есть огромный плюс: все эти кривые Пеано, треугольники Серпинского и прочие драконы Леви очень легко задаются --- надо написать чуть-чуть строчек очень простого кода. Так, на рисование разноцветного треугольника из предыдущего раздела ушло 8 строк кода на Матлабе. 8 строк кода на Матлабе:
Эта функция рекурсивная; математики --- народ,ленивый ценящий лаконичность, и, как говорил мой семинарист по дискретке, «рекурсия --- значит, легко программировать». У этой лаконичности, впрочем, есть цена: для рисования достаточно большой итерации, скажем, пятнадцатой, придётся сделать 315 = 14348907 вызовов функций. Поскольку вызовы функции вложены друг в друга, то все входные аргументы будут благополучно занимать место в оперативной памяти, пока раскрутка рекурсии не закончится (параметр iter не станет равен maxIter, т. е., 15). В случае приведенной тут функции, один вызов «обходится» в три точки с двумя координатами по восемь байт каждая (48 байт) + три числа по еще восемь байт каждое (24 байта), что в сумме даёт 72 байта за вызов. Казалось бы, копейки, да? Но тогда наши 315 вызовов съедят 315 * 72 = 1033121304 байт, что примерно равно 985 мегабайтам. Для шестнадцатой итерации эта цифра возрастёт в три раза и составит почти три гигабайта. Можно, конечно, справедливо заметить, что А) алгоритм можно переписать из рекурсивного в не рекурсивный и Б) никому такие высокие итерации на фиг не сдались.
Короче говоря, треугольник Серпинского в моём понимании был чем-то связанным с жестко заданным, детерминированным, простым, изящным и последовательным. Случайные блуждания на плоскости у меня наоборот, ассоциировались с чем-то хаотическим, непредсказуемым, рваным, ломанным, корявым. То, что первое можно получить из второе, было для меня неожиданностью.
Два завершающих замечания в стиле«власти скрывают» «на самом деле»:
1. На самом деле, Игра Хаоса лишь «на поверхности» демонстрирует идеально ровный треугольник. Если приблизить изображение несколько раз, скажем, в районе вершины А, то всё встанет на свои места. всё встанет на свои места:
Это весьма сильное приближение (порядка 10 раз). Чем больше шагов мы в игре сделаем, тем больше надо будет приблизить изображение, что бы увидеть его хаотическую структуру.
2. На самом деле, нет ничего удивительного в том, что детерминированный объект эффективно приближается вероятностным процессом. Еще в XVIII веке была рассмотрена и решена следующая задача (т. н. «Игла Бюффона»):
Плоскость разлинована набором параллельных прямых, идущих с одинаковым интервалом. На эту плоскость бросается иголка, длина которой равна расстоянию между соседними прямыми. C какой вероятностью иголка пересечёт какую-нибудь из этих прямых?
Ответ: 2/π. Да, это то же самое π, которое фигурирует в формуле длины окружности (3,1415926...). Казалось бы, откуда оно здесь? Тем не менее, если много-много раз кинуть иглу на плоскость, а потом поделить число пересечений на общее число бросков, то получится величина, довольно близкая к 2/π, что позволяет вычислить число π в бытовых условиях.
Индукционные установки нагрева от Тани™
По-моему, спамеры начали о чём-то догадываться. Некоторое время назад мне на почту пришло такое письмо:
Уважаемый профессор
Это Таня из Китая,"маленький человек",кто работает на заводе. Пишу Вам это письмо--моя большая честь. Прежде всего,благодарю Вас за внимание к моему письмо. Разрешите показать Вам наши установки:
Наша продукция--индукционные установки нагрева, используемы для нагрева трубопровода,подогрева перед пайкой,термообработок после пайки,тепловой сборки, гауссова ускорения массой, горячего напыления,нагрева моделя и т. д. Конечно и наши установки широко используются в лаборатории. В Китае много университетов купят из нас для эксперимента,наша установка очень хороший инструмент нагрева на эксперимента.
Если Вас интересуются наши установки,свяжитесь со мной!И у Вас что-нибудь вопросы,свяжитесь со мной!Надеемся с Вами сотрудничать!
Мне стало интересно, что такое «гауссово ускорение массой». Единственное похожее, на что я наткнулся --- электромагнитный ускоритель масс Гаусса, более известный в народе как гаусган. Теперь, наверно, надо ожидать предложения покупки обогащенного урана.
Смайлики, солнца и глаза
Это будет совсем короткая секция.
Случайно блуждая по ютубу, я наткнулся на видео, в котором автор использует простой метод орбитальной ловушки для построения красивых картинок со смайликом. Метод мне знаком, но раньше я им предпочитал не пользоваться по своим причинам. из-за его плохой предсказуемости.
Орбитальная ловушка --- очень простая штука, относящаяся скорее к области искусства, нежели математики. Пусть мы хотим нарисовать некую картинку в M на N пикселов, и сопоставим каждому пикселу точку на плоскости. Идея: помещаем на плоскость некоторую картинку, скажем, смайлик («ловушку»). После этого из каждого пиксела будем строить некоторую траекторию на плоскости вида zk+1 = f(zk), где функция f одна на все пикселы. Как только траектория попадёт на ловушку, то окрасим пиксел, из которого она стартовала, в цвет пиксела картинки, куда она пришла. Хотя метод очень прост (и в интернете много картинок с ним), очень непонятно (во всяком случае, мне), как связана форма картинки, используемой в качестве ловушки, и функция f. Если в фракталах Ньютона из предыдущего поста нули функции «подсказывали» внешний вид результат заранее, то тут ничего подобного не наблюдается. В ролике, на который была ссылка, использовалась ловушка в форме квадрата (хотя логичнее было бы использовать ловушку в форме круга (смайлик-то круглый), автор это объясняет техническими причинами) и простая функция вида z2 +c, где c --- комплексное число, определяемое кликом мышки. Я подумал, что от этого уже можно хоть как-то отталкиваться.
Cообразив, что это и в магазине можно так стенку убрать, я решил по-быстрому накодить что-то подобное, но только без выполнения в реальном времени и потому с большим числом настроек и параметров.
Сразу скажу, что во всех дальнейших примерах картинки для ловушек были взяты наудачу с первой страницы поиска гугла по картинкам. Надеюсь, ничего особо криминального я этим не сделал.
Смайлик было получить легко.легко:
Потом я решил взять что-то похожее, но не совсем; выбор пал солнце.солнце:
Исходное солнце
Логичным финалом стало использование глаза, форма которого была грубо приближена пересечением двух кругов.
Раз картинка с глазом
Два картинка с глазом
Три картинка с глазом
Четыре картинка с глазом
Пять картинка с глазом
Такие дела =)
Этот пост призван не дать дневнику простаивать более двух месяцев и потому не имеет какой-то определённой темы. Подобно одной книжке, тут будет информация типа «Три новых вещи, которые я узнал за подотчётный период». Получилось как-то неожиданно много, поэтому посту присвоен статус «содержательного». Первая вещь будет изложена по привычной схеме возрастания нудных и тоскливых деталей (осторожно, будут формулы!).
Игра хаоса
Игра хаоса
Наткнулся на такую забавную задачку, литературно обозванную «Игрой хаоса»:
На плоскости задано три точки: А, В, С. В нашем распоряжении имеется монета, которая умеет падать ребром, гербом или решкой. Выберем на плоскости случайную точку X1. Если монета упала гербом, поставим новую точку посередине между X1 и А, если решкой --- посередине между X1 и В, если ребром --- между X1 и С. Обозначим новую точку Х2. Снова подбросим монету и поставим Х3 посередине между Х2 и одной из точек А,В,С по тому же правилу. Повторим эту процедуру много-много раз. Как будет выглядеть набор получившихся точек?
«Фигня вопрос,» --- подумал я, прочитав условие первый раз. За конечное число шагов точка попадёт в треугольник ABC и потом будет в нём до бесконечности болтаться, возможно, полностью его закрашивая. Проверка показывает, что если соединить получившиеся точки линиями, то получится действительно нечто в таком духе:
Однако же, если точки не соединять, то получится нечто гораздо более интересное.интересное:
Что это?
На последней картинке изображен небезызвестный объект --- треугольник Серпинского. Обычно он строится без применения всяких трюков с монеткой: берётся треугольник, из него выкидывается треугольник, образованный основаниями медиан; получается еще три треугольника, из них всё так же выкидываются серединные треугольники, и т. д. Вообще, я был страшно удивлён его появлению, но про это --- потом.
Итак, обещанный ответ на вопрос «Что это?» --- это частный пример так называемой системы итерированных функций (iterated function system, IFS). Идея метода проста: берётся N штук функций, f1(x), f2(x), … , fN(x), и какая-нибудь начальная точка X0. Затем эта точка последовательно сдвигается функциями, применяемыми к ней в случайном порядке: Xk+1(x) = fuk(Xk), где uk --- случайное число от 1 до N. Вот и всё. Если функции выбраны «удачно», то точки X0, X1, …, Х(большая чиселка) образуют любопытную картинку.
Оказывается, такие системы могут описывать довольно широкий класс множеств на плоскости. Если ограничиться одними только линейными преобразованиями (и не думать о способе покраски), то можно даже с очень простой программкой много чего получить. получить, например, такие картинки:
Если же подойти к вопросу основательно и с фантазией (а не как я), то IFS можно использовать для генерирования изображений всяких природных объектов --- растений, облаков, рельефа. Это, впрочем, выпадает из темы поста.
Почему это?
Важные Общие Слова и Огромное Прикладное Значение --- это, конечно, здорово, но мне больше всего захотелось понять, почему результатом Игры Хаоса является именно треугольник Серпинского. Поначалу мне это показалось вообще ни разу не очевидным. Попробую изложить разъяснение (и тем самым убедить себя, что я сам всё правильно понял). Осторожно, дальше идут скучные рассуждения на пальцах!
В терминах IFS, в Игре Хаоса мы имеем три отображения: каждое сдвигает свой аргумент в сторону одной из точек А,В,С. Как уже упоминалось, несложно сообразить, что абсолютно любая точка за не очень большое число шагов окажется внутри треугольника. Поскольку шагов «много-много», то отбросим начальные точки вне треугольника, и будем считать, что начальная точка с самого начала лежит внутри треугольника. Где может оказаться точка после первого шага? Рассмотрим какую-нибудь одну функцию,скажем, ту, которую приближает к вершине А. Эта функция оставит вершину А на месте; вершина В перейдёт в основание медианы, опущенной на АВ, вершина С --- в основание медианы, опущенной на АС. Соответственно, сторона ВС перейдёт в отрезок, эти два основания соединяющий. Таким образом, весь треугольник АВС перейдёт в подобный ему треугольник с общей вершиной А. Пометим этот новый треугольник синим:
Соответственно, две другие функции отобразят АВС в два похожих треугольника. В итоге, после первого шага АВС может перейти в один из трёх новых треугольников (= начальная точка окажется в одном из них). Обратим внимание, что картинка в точности есть первая итерация построения треугольника Серпинского (выкинут центральный треугольник). Что будет на втором шаге? Пусть на первом мы оказались в синем треугольнике. Тогда на втором шаге он может перейти в один из трёх треугольников (которые мы тоже покрасим в синий):
На третьем шаге точка из Синего-Треугольника-С-Первой-Итерации может оказаться уже в одном из девяти треугольников:
Покрасим оставшиеся два треугольника с первой итерации в красный и зелёный (абсолютно неожиданный выбор цветов) и проследим, куда эти треугольники могут перейти от шага к шагу. Получим такую картинку:
Таким образом, с каждой последующей итерации, вне зависимости от того, какая функция будет выбрана, наша точка будет передвигаться по приближениям треугольника Серпинского; наши функции оказались выбраны так, что они «загоняют» точку всё ближе и ближе к нему.
Резюмируя: вместо того, чтобы на каждом этапе выкидывать по треугольнику, можно гонять одну-единственную точку по трём случайно выбираемым функциям. Поскольку при достаточно большом шаге новые «зоны приближения» оказываются обильно рассыпаны по всему треугольнику Серпинского, то это создаёт иллюзию, будто «все точки на месте», хотя, на самом деле, их там сильно меньше.
Зачем мне это?
Как уже было сказано, меня очень удивил результат работы Игры Хаоса --- настолько, что, только прочитав условие, я тут же
(Пока есть место в скобках, два слова о переводе: исходное название, Chaos game, правильно было бы перевести как «Хаотическая игра» или «Игра «Хаос»» (по аналогии с «Игрой «Жизнь»»). Название «Игра Хаоса» выбрано мной потому, что оно напоминает
Есть большой класс красивых (по меньшей мере, в визуальном плане) объектов в математике, которые получаются в результате итеративного применения какого-нибудь простого правила. Такие объекты меня всегда привлекали. На втором курсе,
(Чудом уцелевший фрагмент с лекции по грамматикам Холмского!)--- плоскую непрерывную кривую, целиком закрашивающую квадрат (да, так бывает). Таких фигур (которые можно нарисовать на бумажке) --- довольно много. Разумеется, у машины рисование выходит гораздо быстрее и симпатичнее. Когда (уже на третьем курсе) я писал свой трассировщик лучей, то одной из первых отрисованных на нём фигур стала пирамида Серпинского, пирамида Серпинского,
--- трёхмерный аналог треугольника Серпинского. С точки зрения программирования тут есть огромный плюс: все эти кривые Пеано, треугольники Серпинского и прочие драконы Леви очень легко задаются --- надо написать чуть-чуть строчек очень простого кода. Так, на рисование разноцветного треугольника из предыдущего раздела ушло 8 строк кода на Матлабе. 8 строк кода на Матлабе:
Эта функция рекурсивная; математики --- народ,
Короче говоря, треугольник Серпинского в моём понимании был чем-то связанным с жестко заданным, детерминированным, простым, изящным и последовательным. Случайные блуждания на плоскости у меня наоборот, ассоциировались с чем-то хаотическим, непредсказуемым, рваным, ломанным, корявым. То, что первое можно получить из второе, было для меня неожиданностью.
Два завершающих замечания в стиле
1. На самом деле, Игра Хаоса лишь «на поверхности» демонстрирует идеально ровный треугольник. Если приблизить изображение несколько раз, скажем, в районе вершины А, то всё встанет на свои места. всё встанет на свои места:
Это весьма сильное приближение (порядка 10 раз). Чем больше шагов мы в игре сделаем, тем больше надо будет приблизить изображение, что бы увидеть его хаотическую структуру.
2. На самом деле, нет ничего удивительного в том, что детерминированный объект эффективно приближается вероятностным процессом. Еще в XVIII веке была рассмотрена и решена следующая задача (т. н. «Игла Бюффона»):
Плоскость разлинована набором параллельных прямых, идущих с одинаковым интервалом. На эту плоскость бросается иголка, длина которой равна расстоянию между соседними прямыми. C какой вероятностью иголка пересечёт какую-нибудь из этих прямых?
Ответ: 2/π. Да, это то же самое π, которое фигурирует в формуле длины окружности (3,1415926...). Казалось бы, откуда оно здесь? Тем не менее, если много-много раз кинуть иглу на плоскость, а потом поделить число пересечений на общее число бросков, то получится величина, довольно близкая к 2/π, что позволяет вычислить число π в бытовых условиях.
Индукционные установки нагрева от Тани™
Индукционные установки нагрева от Тани™
По-моему, спамеры начали о чём-то догадываться. Некоторое время назад мне на почту пришло такое письмо:
Уважаемый профессор
Это Таня из Китая,"маленький человек",кто работает на заводе. Пишу Вам это письмо--моя большая честь. Прежде всего,благодарю Вас за внимание к моему письмо. Разрешите показать Вам наши установки:
Наша продукция--индукционные установки нагрева, используемы для нагрева трубопровода,подогрева перед пайкой,термообработок после пайки,тепловой сборки, гауссова ускорения массой, горячего напыления,нагрева моделя и т. д. Конечно и наши установки широко используются в лаборатории. В Китае много университетов купят из нас для эксперимента,наша установка очень хороший инструмент нагрева на эксперимента.
Если Вас интересуются наши установки,свяжитесь со мной!И у Вас что-нибудь вопросы,свяжитесь со мной!Надеемся с Вами сотрудничать!
Мне стало интересно, что такое «гауссово ускорение массой». Единственное похожее, на что я наткнулся --- электромагнитный ускоритель масс Гаусса, более известный в народе как гаусган. Теперь, наверно, надо ожидать предложения покупки обогащенного урана.
Смайлики, солнца и глаза
Смайлики, солнце и глаза
Это будет совсем короткая секция.
Случайно блуждая по ютубу, я наткнулся на видео, в котором автор использует простой метод орбитальной ловушки для построения красивых картинок со смайликом. Метод мне знаком, но раньше я им предпочитал не пользоваться по своим причинам. из-за его плохой предсказуемости.
Орбитальная ловушка --- очень простая штука, относящаяся скорее к области искусства, нежели математики. Пусть мы хотим нарисовать некую картинку в M на N пикселов, и сопоставим каждому пикселу точку на плоскости. Идея: помещаем на плоскость некоторую картинку, скажем, смайлик («ловушку»). После этого из каждого пиксела будем строить некоторую траекторию на плоскости вида zk+1 = f(zk), где функция f одна на все пикселы. Как только траектория попадёт на ловушку, то окрасим пиксел, из которого она стартовала, в цвет пиксела картинки, куда она пришла. Хотя метод очень прост (и в интернете много картинок с ним), очень непонятно (во всяком случае, мне), как связана форма картинки, используемой в качестве ловушки, и функция f. Если в фракталах Ньютона из предыдущего поста нули функции «подсказывали» внешний вид результат заранее, то тут ничего подобного не наблюдается. В ролике, на который была ссылка, использовалась ловушка в форме квадрата (хотя логичнее было бы использовать ловушку в форме круга (смайлик-то круглый), автор это объясняет техническими причинами) и простая функция вида z2 +c, где c --- комплексное число, определяемое кликом мышки. Я подумал, что от этого уже можно хоть как-то отталкиваться.
Cообразив, что это и в магазине можно так стенку убрать, я решил по-быстрому накодить что-то подобное, но только без выполнения в реальном времени и потому с большим числом настроек и параметров.
Сразу скажу, что во всех дальнейших примерах картинки для ловушек были взяты наудачу с первой страницы поиска гугла по картинкам. Надеюсь, ничего особо криминального я этим не сделал.
Смайлик было получить легко.легко:
Исходное солнце
Логичным финалом стало использование глаза, форма которого была грубо приближена пересечением двух кругов.
Раз картинка с глазом
Два картинка с глазом
Три картинка с глазом
Четыре картинка с глазом
Пять картинка с глазом
Такие дела =)
@музыка: Ayreon --- Unnatural Selection
@темы: картинки, питон, содержательный пост, Matlab
-
-
15.02.2024 в 19:52Вы когда-нибудь сталкивались с необходимостью написания дипломной работы в сжатые сроки? Это действительно серьезное и трудоемкое занятие, но важно не отступать и продолжать двигаться вперед в учебном процессе, так же, как я это делаю.
Для тех, кто умеет осуществлять анализ и находить информацию в интернете, это может оказаться очень полезным в процессе согласования и написания дипломной работы. Нет необходимости тратить время на посещение библиотек или встречи с научным руководителем. В интернете есть множество ресурсов с хорошими данными для дипломных работ и курсовых. Вы можете ознакомиться с ними, перейдя по ссылкам
extern-diplom.com/
Желаю всем отличных оценок!
купить диплом в архангельске
купить морской диплом
купить диплом в москве
купить диплом в крыму
купить диплом гознак
купить диплом в нижнекамске
купить диплом в курске
купить диплом историка
купить диплом в владикавказе
купить диплом в королёве
-
-
16.02.2024 в 01:25-
-
16.02.2024 в 21:42desiporn.one/tags/indian-porn/
In the duchy of dating, one encounters a distinctive series of emotions. There's the exhilaration of convocation someone contemporary, the anticipation of a in the first place escort, and the quivering of discovering stale interests and shared values. It is a ease of vulnerability and self-discovery as individuals obtainable themselves up to the feasibility of love and companionship.
erhe.me/tags/ass-play/
Effectual communication lies at the bravery of dating, facilitating sympathy and correlation between two people. It involves effective listening, virtuous expression, and empathy, creating a room object of trustworthy dialogue. Through communication, individuals can tour their compatibility, the board thoughts and dreams, and assemble a foundation of trust.
-
-
16.02.2024 в 21:44Продолжайте добавлять акценты, такие как теневые элементы и отражательные элементы, чтобы придать вашему рисунку объем и реализм. Варьируйте насыщенность цветов, чтобы подчеркнуть характеристики лимона, такие как свежесть и солнечный свет. Не забывайте о подложке - он может быть неопределенным или имитировать естественную среду, например, зеленую листву или деревянное основание. Экспериментируйте с различными приемами и наслаждайтесь процессом создания своего образа лимона на листе.
-
-
17.02.2024 в 03:01-
-
17.02.2024 в 16:27_________________
অনলাইনে ক্যাসিনো খেলুন
-
-
18.02.2024 в 02:03www.walesnewstoday.com/
-
-
18.02.2024 в 03:48Живу я в небольшом городе в Германии, и найти среди кучи «магов» хорошего, трудно особенно в Германии. Намучилась я с этим очень. И как бывает, все решается на пьяную голову. Сидели с двоюродной сестрой, поведала ей свою проблему с мужем и о бесконечных поисках магов. Она очень удивилась, что я сразу не стала искать человека в России с Якутии или другого региона Дальнего востока – это можно сказать родина многих сильных шаманов и колдунов.
Порекомендовала мага, с которым сама работала. Поработала с ним и я.
Поэтому хотела бы написать отзыв о привороте на мужа, проведенном магом Романом Петровичем.
___________________________________________________________________________
Я хочу поделиться своим опытом использования услуг мага Романа Петровича с сайта cmag666.ru Ватсап 8 (984) 286-12-65
___________________________________________________________________________
Перед тем, как обратиться к нему, моя ситуация с мужем казалась мне безвыходной. Наш брак испытывал серьезные трудности, и наши отношения становились все более напряженными.
Мой муж, с которым мы прожили много лет, казался мне все более отстраненным и равнодушным. Он уходил в себя, избегал общения, а наши разговоры становились все реже и поверхностнее. Я испытывала огромную боль от того, что наша семья распадается, и что я теряю своего мужа. В итоге он еще и любовницу завел.
После долгих раздумий и поиска решения проблемы, я решила обратиться к магу Роману Петровичу за помощью.
Он провел для меня приворот на мужа – на все ушло 5 дней, и еще дал ряд простых рекомендаций, которым нужно было следовать до получения результата. Последовали дни ожидания
На 5 день после проведения приворота я почувствовала изменения в поведении мужа. Он стал проявлять больше внимания и заботы, мы снова начали общаться и находить общие интересы. Стали возвращаться чувства и заинтересованность мной как женщиной. Все быстро нормлизовалось в наших отношениях, с любовницей он порвал все контакты.
Сейчас, спустя несколько месяцев после проведения приворота, я вижу, что наш брак стал крепким, стабильным и счастливым, как и раньше! Мы с мужем снова чувствуем себя близкими и любящими людьми.
Я благодарна магу Роману Петровичу за его помощь и поддержку в трудный момент!
Теги гадалка в германии отзывы - гадание в германии отзывы
gadalka v germanii отзывы - экстрасенсы в германии отзывы
экстрасенсы в германии отзывы - экстрасенсы в германии отзывы
-
-
18.02.2024 в 04:11_________________
ক্রীড়া পণ
-
-
18.02.2024 в 04:23-
-
18.02.2024 в 20:41Бывало ли у вас такое, что приходилось писать дипломную работу в сжатые сроки? Это действительно очень ответственно и трудно, но важно не сдаваться и продолжать учебный процесс, так же, как и я.
Для тех, кто умеет осваивать информацию и искать её в интернете, это действительно может оказать большую помощь в процессе согласования и написания дипломной работы. Нет необходимости тратить время на походы в библиотеки или встречи с научным руководителем. Здесь представлены хорошие материалы для дипломных и курсовых работ, которые вы можете изучить, перейдя по ссылкам
diplom1.org/
Желаю всем отличных оценок!
купить дипломы о высшем с занесением
купить диплом в сыктывкаре
купить диплом средне техническое
купить диплом магистра
купить диплом геодезиста
купить диплом в химках
купить диплом мастера маникюра и педикюра
купить диплом физика
купить диплом в ярославле
купить диплом эколога
-
-
18.02.2024 в 22:33-
-
19.02.2024 в 01:20Всем кто в рекламе и Seo, данные варианты действительно помогают, проверено
Неожидал что обычный прогон по ссылкам может так прокачать сайт, все в топе!
www.google.com/search?q=%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B...
www.google.com/search?q=%D1%83%D1%81%D0%BA%D0%B...
Удачи!
-
-
19.02.2024 в 08:17+
+
Были проблемы с мужем довольно давно. А в последний год отношения стали сыпаться очень быстро, все разурушилось до конца буквально на глазах. Особенно с появлением любовницы, это была коллега сработы. А у нас двое детей. Их я и сама могла обеспечить более чем! Но вот любила мужа, и хоте, чтобы дети росли с рожным отцом.
Обращалась много к кому, но доверия не было даже при первом общение. Случайно встретились с давней подругой. Разговорились о проблемах. Она посоветовал сильного мага с Дальнего Востока.
Обратилась к нему за приворотом, хотя были конечно сомнения. Звать его Роман Петрович. Берет за работу не сильно много по сравнению с другими, делает все быстро и в срок, не продает и всегда отвечает на возникающие вопросы. Вернул мужа мне за 7 дней, работу проводил 2 дня.
Очень довольна!
________________________
Обратиться к нему можно через сайт cmag666.ru или ватсап 8 (984) 286-12-65 - это настоящий маг и просто добрый человек, отлично знающий свое дело!
____________________________________________________________________________________
Сайт ищут по тегам #
# Ясновидящая # маге # отзывы # экстрасенс # гадалка
черный маг в москве
дарья сергеева модель
роза люберцы отзывы
отзывы о маге
белый лотос инстаграм
алексей борис
майя гадалка
карина сибирцева
гадалка роза
волшебники любви портал любовной магии отзывы о работе
проверенные ясновидящие
экстрасенс мила
отзыв гадалка маг экстрасенс кобзарь сергей
ясновидящая наталья
маг 77 ру официальный сайт
маги ру
официальный сайт магов россии список настоящих
-
-
19.02.2024 в 09:27-
-
19.02.2024 в 22:50Tell me what is it that naked chicks are doing in my personal profile in the beginning, women appeared, then men too
Who's driving?, delete them soon already - green-october.diary.ru/id794729/foto
See you again!
-
-
19.02.2024 в 23:24-отзывы о кладбищенских приворотах
-кто делал кладбищенские привороты отзывы
-кладбищенский приворот отзыв
-кладбищенский приворот действие последствия сроки отзывы
-сроки кладбищенского приворота отзывы
-
-
20.02.2024 в 00:17-----------------------------------------
Но случайно наткнулась на сайт Романа Петровича, и что удивительно, он тоже с Дальнего Востока, как и мы с мужем, откуда много шаманов. Решила попробовать в последний раз и не прогадала!Каждый день наши отношения становились все лучше. Муж стал внимательнее и заботливее, а я почувствовала, что его чувства ко мне вернулись. Благодаря кладбищенскому привороту, наша семья стала крепче и счастливее.Я очень благодарна Роману Петровичу за помощь. Он настоящий профессионал своего дела и знает, как вернуть счастье в семью. Я рекомендую его всем, кто столкнулся с проблемами в отношениях. Спасибо, Роман Петрович, за ваше волшебство и поддержку!С Романом Петровичем мы поговорили о моих проблемах, и он предложил мне кладбищенский приворот для возврата чувств моего мужа. Решила довериться его опыту и приступила к ритуалу с надеждой на лучшее.Хочу поделиться своим отзывом о работе с магом Романом Петровичем с сайта cmag666.ru. Я из провинции, живу в небольшой деревне в окрестностях Екатеринбурга, и когда у меня возникли проблемы с мужем, я честно говоря, не знала к кому обратиться. Местные "маги" из Екатеринбурга ничем не помогли, и я уже было решила, что все потеряно. А в нашей деревне таких людей нет, все нынче в другое погружены, не до человеческих проблем им!
- привороты в екатеринбурге
- приворот в екатеринбурга
- в екатеринбурге приворот
- сильный приворот екатеринбург
- отзывы о приворотах екатеринбург
-
-
20.02.2024 в 01:34I like chat and play with mens and womens)
Your key to an adrenaline-pumping experience! Webcam models and video chats for all occasions are available right now.
Your fantasies come to life here and now! Video roulettes with models will help you realize your wildest ideas.
Open the doors to exciting adventures with the best cam models! Enjoy a variety of online entertainment.
Enjoy the moment with the best webcam models! Our platform offers a wide selection of video chats and genres.
il.livevideochat18.ru
gr.live24sex.net
Wait there personally YOU!!!
-
-
20.02.2024 в 02:40www.jackpotbetonline.com/
-
-
20.02.2024 в 10:42Роман Петрович выслушал мои проблемы и предложил мне кладбищенский приворот для восстановления наших отношений. Я полностью доверила ему свои чувства и приступила к ритуалу с надеждой на лучшее.
С каждым днем я замечала, как наша связь становится все крепче и глубже. Мы начали общаться более открыто и искренне, а мои чувства к нему стали только усиливаться. Благодаря кладбищенскому привороту, наша любовь стала еще более крепкой и стойкой.
Работа Романа Петровича действительно поразила меня. Его внимание к деталям и профессионализм впечатлили меня. Благодаря его помощи я снова чувствую, что моя жизнь наполнена смыслом и радостью. Он настоящий мастер своего дела, и я безмерно благодарна ему за все, что он сделал для меня.
Я рекомендую Романа Петровича всем, кто столкнулся с проблемами в своих отношениях. Его помощь – это настоящий подарок судьбы, который может изменить вашу жизнь к лучшему. Спасибо, Роман Петрович, за вашу помощь и волшебство!
-кладбищенская магия последствия приворота отзывы
-отзывы кто делал кладбищенский приворот форум
-кладбищенский приворот отзывы кто делал через сколько действует
-реальные отзывы о кладбищенском привороте
-кладбищенский приворот отзывы
-
-
20.02.2024 в 10:45Друзья, я не могу пройти мимо и не поделиться своим впечатлением о заказе приворота на мужчину! Моя жизнь казалась полной руин, когда я обнаружила, что мой мужчина не обращает на меня внимания и даже начал демонстрировать интерес к другим женщинам. Это было просто адом!
Я отчаянно пыталась найти выход из этой ситуации, обратилась к нескольким магам в Москве, но результаты были никакими. Я была на грани отчаяния, пока моя подруга не посоветовала мне обратиться к Роману Петровичу с Дальнего Востока. Нашла его сайт cmag666.ru где много ценной информации.
Скажу честно, я была в состоянии полного краха, когда позвонила Роману Петровичу. Но он был таким терпеливым и понимающим, что я сразу почувствовала, что могу ему доверять. Я заказала приворот мужчине и надеялась на лучшее.
И что же? Результат меня поразил до глубины души! Мой муж стал совсем другим человеком - внимательным, заботливым и полным энтузиазма! Мы снова влюблены друг в друга как в самом начале наших отношений!
Я просто не могу передать словами, как благодарна Роману Петровичу за то, что он вернул моего мужа ко мне! Если у вас возникли проблемы в отношениях и вы ищете решение, обратитесь к нему без колебаний. Он действительно знает, как помочь в сложных ситуациях!
- услуги приворот москва
- кто делает привороты в москве
- магия приворот в москве
- любовные привороты в москве
- сделать приворот москва
-
-
20.02.2024 в 11:49-----------------------------------------
Хочу поделиться своим незабываемым опытом работы с магом Романом Петровичем с сайта cmag666.ru. Проживая в Екатеринбурге, я столкнулась с трудностями в отношениях со своим мужем. Попытки решить проблемы с мужем при помощи местных магов не привели к желаемому результату.
Поиски настоящего мага привели меня на сайт Романа Петровича, и я решила попробовать снова. Будучи из Дальнего Востока, родины шаманов, Роман Петрович вызвал мое доверие, и я обратилась к нему за помощью в восстановлении чувств моего мужа.
С Романом Петровичем мы обсудили мою ситуацию, и он предложил мне кладбищенский приворот для возврата чувств моего мужа. Я решила довериться его опыту и приступила к ритуалу с надеждой на лучшее.
С каждым днем я замечала, как наши отношения становились все более гармоничными и близкими. Муж начал проявлять больше внимания и заботы, а его чувства к мне стали стойчивыми и глубокими. Благодаря кладбищенскому привороту, наш брак стал еще крепче и устойчивее.
Работа Романа Петровича действительно поразила меня. Его профессионализм и внимание к моей ситуации впечатлили меня. Благодаря его помощи я снова чувствую себя счастливой и уверенной в нашем будущем вместе. Он настоящий мастер своего дела, и я безмерно благодарна ему за все, что он сделал для нашей семьи.
Я рекомендую Романа Петровича всем, кто столкнулся с проблемами в своих отношениях. Его помощь – это настоящее чудо, которое может изменить вашу жизнь к лучшему. Спасибо, Роман Петрович, за ваше волшебство и преданность своему делу!
- приворот по фото екатеринбург
- приворот девушки в екатеринбурге
- приворот отзывы екатеринбург
- отзывы о приворотах екатеринбург
- приворот отзывы екатеринбург
-
-
20.02.2024 в 12:22В августе этого года я столкнулся с самым непредсказуемым испытанием - узнал, что моя жена в течение двух лет вела роман на работе после двадцатилетнего брака и троих детей. Наша семья была на грани разрушения, и я честно говоря, не знал, что делать в этой ситуации. Оба мы были виноваты, и мне казалось, что нет выхода. Тогда я обратился к Роману Петровичу через его страничку cmag666.ru , и могу сказать, что это было одним из самых лучших решений в моей жизни.
После того, как Роман Петрович провел расклад карт, который оказался точным от начала и до конца, у меня появилась надежда. Он подобрал магическую работу, а затем выполнен был ритуал с защитным щитом и привязкой на огонь (подробности можно найти на его блоге). Сегодня, в декабре, я рад сообщить, что благодаря его помощи я вернул любимого человека и спас нашу семью. Наши отношения перешли на качественно новый уровень во всех аспектах.
Однако, я хочу подчеркнуть, что магия не сделает всё за вас. Вам также придется приложить значительные усилия и измениться, если вы хотите добиться успеха. Перед Романом Петровичем я преклоняю колени - без его помощи я бы не был так счастлив. Если у вас возникли подобные проблемы, я настоятельно рекомендую обратиться к Роману Петровичу.
Сайт ищут по тегам
- заказать приворот по во
- приворот на девушку заказать
- приворот заказать сорокоуст
- где заказать приворот
- я заказала приворот на любимого мужчину
-
-
20.02.2024 в 22:09diltiazem without insurance
Best what you want to know about medication. Get information here.
-
-
20.02.2024 в 22:11Стабилизаторы напряжения 220 вольт для квартиры Стабилизаторы напряжения 220 вольт для квартиры .
-
-
21.02.2024 в 05:25Trial ED Pack consists of the following ED drugs:
Viagra 100mg 5 pills
Cialis 20mg 5 pills
Levitra 20mg 5 pills
cutt.ly/7wC5m1Id
www.magurogu.fun/iframe/hatena_bookmark_comment...
www.uralsiz.ru/bitrix/redirect.php?event1=click...
relab.ru/bitrix/redirect.php?event1=click_to_ca...
spb-building.ru/bitrix/rk.php?id=17&site_id=s1&...
moreoboev.com/bitrix/rk.php?goto=https://true-p...
Extra ED Pack consists of the following ED drugs:
Viagra 100mg 20 pills
Cialis 20mg 20 pills
Levitra 20mg 20 pills
Super ED Pack consists of the following ED drugs:
Viagra 100mg 10 pills
Cialis 20mg 10 pills
Levitra 20mg 10 pills
cutt.ly/7wC5m1Id
forum.idws.id/proxy.php?link=https://true-pill....
lisacrown.ru/bitrix/redirect.php?event1=click_t...
kc-arhangelskoe.ru/redirect?url=https://true-pi...
gold-pricess.blogspot.com/search/?label=https%3...
lebedyan.vodomer.ru/bitrix/redirect.php?goto=ht...
-
-
21.02.2024 в 06:02Начну с того, что я с Новосибирска и хотела здесь заказать приворот. Отзыв в целом о местных "магах" негативный могу дать. Нет у нас настоящих мастеров, кто может сделать приворот с результатом. Впустую потраченные деньги и время.
Что касается обращения к Роману Петровичу, то для меня это было нечто более, чем просто встречей с магом. Это был поворотный момент в моей жизни.
Меня накрыла волна отчаяния, когда я поняла, что моя долгосрочная связь с парнем находится на грани распада. В поисках решения я обратилась к разным специалистам, но ничто не приносило результатов. И тут, как луч света в темном туннеле, появился Роман Петрович.
Его энергия и уверенность оказали на меня мощное воздействие. Я рассказала ему о своих проблемах, и он предложил мне решение, о котором я даже не думала раньше - приворот на моего парня.
Когда приворот был проведен, я чувствовала, что что-то меняется в воздухе. И когда я встретилась с парнем после этого, я почувствовала его новое отношение ко мне - он был более приветлив и внимателен. Это был началом нового этапа в наших отношениях.
Сейчас, когда я вижу, как наши отношения развиваются в лучшую сторону, я не могу не поделиться этим с миром. Роман Петрович - настоящий волшебник, и я благодарна ему за то, что он вернул мою любовь и счастье.
Если у вас есть проблемы в отношениях и вы ищете помощь, не стесняйтесь обратиться к Роману Петровичу ( его сайт cmag666.ru )- его талант и профессионализм помогут вам вернуть гармонию и радость в вашу жизнь.
Сайт ищут по тегам
_______________________________________________________________
-новосибирск приворот девушки
-бабушку приворот в новосибирске
-магия приворота в новосибирске
-приворот новосибирске кто
-приворот в новосибирске
-
-
21.02.2024 в 12:27Ритуал приворота у мага Светланы превзошел все мои ожидания! Моя любовь к парню стала еще сильнее, и он ответил мне взаимностью. Это настоящее чудо! Спасибо вам, Светлана, за вашу магическую помощь!
-настоящие маги и чародеи
-как и где найти настоящего мага
-черные маги проверенные
-помощь у проверенных магов
-
-
21.02.2024 в 18:45Лувр забастовал из-за пенсионной реформы
samoylovaoxana.ru/tag/arenda-neobychnogo-zhilya...
Ещё можно узнать: как настроить explorer для открытия xml файлов
Праздничные туры